Question

已知二次函數y=4x²+bx+（b²+b），b取任何實數時，它的圖象都是一條拋物線．
（1）現在有如下兩種說法：
①b取任何不同的數值時，所對應的拋物線都有著完全相同的形狀；
②b取任何不同的數值時，所對應的拋物線都有著不相同的形狀．
你認為哪一種說法正確，為什么？
（2）若b=-1，b=2時對應的拋物線的頂點分別為A，B，請你求出直線AB的解析式；
（3）在（2）中所確定的直線AB上有一點C，且點C的縱坐標為-1，問：在x軸上是否存在點D使△COD為等腰三角形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，簡單說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線的開口方向和形狀只與二次項系數有關，與一次項系數和常數項無關，
故①的說明是正確的．

（2）當b=-1時，y=4x²-x=4（x-）²-，
故A（，-）；
當b=2時，y=4x²+2x+=4（x+）²+，
故B（-，）；
設直線AB的解析式為：y=kx+b，則有：
，
解得，
故直線AB的解析式為：y=-x．

（3）當y=-1時，-1=-x，x=2，
故C（2，-1）；
可得OC=；
若△COD是等腰三角形，則有：
①OC=OD，則OD=；
∴D₁（-，0），D₂（，0）；
②OC=CD；
根據等腰三角形三線合一的性質知：C點位于OD的垂直平分線上，
故D₃（4，0）；
③OD=CD；
此時D位于OC的垂直平分線上，則∠OCD₄=∠OD₃C=∠COD₄，
則△OD₄C∽△OCD₃，得OC₂=OD₄•OD₃，
由于OC=，OD₃=4，
可求得OD₄=，
故D₄（，0）；
綜上所述，存在4個符合條件的D點，它們的坐標為：D₁（-，0），D₂（，0），D₃（4，0），D₄（，0）．
分析：（1）由于拋物線的形狀只與拋物線的二次項系數有關，顯然①的說法是正確的．
（2）將b=-1、b=2分別代入拋物線的解析式中，用配方法求出兩條拋物線的頂點坐標，也就得到了A、B點的坐標，從而利用待定系數法求出直線AB的解析式．
（3）根據（2）題得到的直線AB的解析式，可確定點C的坐標；由于△COD的腰和底不確定，分：①OC=OD、②OC=CD、③OD=CD三種情況討論即可．
點評：此題考查了二次函數圖象與系數的關系、函數解析式的確定、等腰三角形的構成情況等知識點；（3）題中，由于等腰三角形的腰和底不確定，一定要分類討論，以免漏解．