Question

如圖①在正方形網格中有四邊形ABCD．

（1）利用網格作∠A、∠B的平分線；
（2）∠A、∠B的平分線交于點O，判斷點O是否在其他兩個角的平分線上；
（3）從圖中得出的結論：①AD∥BC；②∠AOB=∠DOC=90°；③AD+BC=AB+CD；④S_△AOB=S_△COD；⑤∠AOD與∠BOC互補；其中正確的結論為______（寫序號）
（4）如圖②，在四邊形ABCD中四個內角平分線仍相交于一點O，在（3）的正確結論中，哪些仍然成立？試說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖：AO，BO為∠A、∠B的平分線，

（2）如（1）中圖，
∵在△EOC和△FOC中，
，
∴△EOC≌△FOC（SSS），
∴∠ECO=∠FCO，
∴O點在∠BCD的角平分線上，
同理：O點也在∠ADC的角平分線上，

（3）如圖：OA⊥BO，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AO，BO為∠A、∠B的平分線，
∴∠BAD+∠CBA=180°，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵OD，OC分別為∠DCB，∠CDA的角平分線，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴OD⊥OC，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵O點為四邊形四個內角的角平分線的交點，
∴O點為其內心，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB≠CD，
∴S_△AOB≠S_△COD，

（4）∵四邊形ABCD中四個內角平分線仍相交于一點O，
∴O點為四邊形ABCD的內心，
∴AD+BC=AB+CD，
∴在（3）的正確結論中，③仍然成立．
故答案為①②③⑤．
分析：（1）利用網格線很容易作出∠A、∠B的平分線，
（2）結合圖形，通過求證三角形全等，即可推出點O在其他兩個角的平分線上，（3）根據（1）（2）中所推出的結論，可知OA⊥BO，結合角平分線的性質，即可推出結論①和②，再根據周角的定義，即可推出結論⑤，然后根據四邊形內切圓的定義和性質，即可推出結論③，（4）根據圖2，只能推出O點為四邊形的內心，既而得出結論③AD+BC=AB+CD．
點評：本題主要考查角平分線的性質、作角平分線，全等三角形的判定與性質、四邊形的內切圓的定義與性質等知識點，關鍵在于結合網絡圖形分析出相等關系，熟練正確地運用相關的性質定理．