Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1

（1）求拋物線的對稱軸（用含m的式子去表示）；

（2）若點（m﹣2，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，則y1、y2、y3的大小關系為　 　；

（3）直線y＝﹣x+b與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，過點B作垂直于y軸的直線l與拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1有兩個交點，在拋物線對稱軸右側的點記為P，當△OAP為鈍角三角形時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）xm；（2）y2＞y3＞y1；（3）m＜5．

【解析】

（1）函數的對稱軸為：xm；

（2）函數對稱軸為x＝m，函數開口向上，x＝m時函數取得最小值，即可求解；

（3）分∠OPA是鈍角、∠OAP是鈍角兩種情況，分別求解即可．

解：（1）函數的對稱軸為：xm；

（2）函數對稱軸為x＝m，函數開口向上，x＝m時函數取得最小值，

故：y2＞y3＞y1；

（3）把點A的坐標代入y＝﹣x+b的表達式并解得：b＝3，

則點B（0，3），直線表達式為：y＝﹣x+3，

當y＝3時，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，

則x＝m±2，則點P（m﹣2，3），

則OP2＝（m﹣2）2+9，OA2＝9，PA2＝（m﹣5）2+9，

①當∠OPA是鈍角時，

則OP2+PA2＞OA2，

即：（m﹣2）2+9+（m﹣5）2+9＞9，

解得：m為任意實數；

②當∠OAP是鈍角時，

OA2+PA2＞OP2，

即9+（m﹣5）2+9＞（m﹣2）2+9

解得：m＜5．

即：m的取值范圍為：m＜5．