Question

△ABC中，AB=AC，點D為射線BC上一個動點（不與B、C重合），以AD為一邊向AD的左側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，過點E作BC的平行線，交直線AB于點F，連接BE．
（1）如圖1，若∠BAC=∠DAE=60°，則△BEF是______三角形；
（2）若∠BAC=∠DAE≠60°
①如圖2，當點D在線段BC上移動，判斷△BEF的形狀并證明；
②當點D在線段BC的延長線上移動，△BEF是什么三角形？請直接寫出結論并畫出相應的圖形．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴△AED和△ABC為等邊三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA=∠C=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠ABC=60°，
∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°，
∴△EFB為等邊三角形，

（2）①△BEF為等腰三角形，
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴△AED和△ABC為等腰三角形，
∴∠C=∠ABC，∠EAB=∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠ABC，
∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA，
∴△EFB為等腰三角形，
②AB=AC，點D為射線BC上一個動點（不與B、C重合），以AD為一邊向AD的左側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，過點E作BC的平行線，交直線AB于點F，連接BE．
∵△BEF為等腰三角形，
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴△AED和△ABC為等腰三角形，
∴∠ACB=∠ABC，∠EAB=∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA=∠ACD，
∴∠EBF=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ABC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠AFE=∠ACB，
∵在△EFB中，∠EBF=∠AFE，
∴△EFB為等腰三角形．

分析：（1）根據題意推出△AED和△ABC為等邊三角形，然后通過求證△EAB≌△DAC，結合平行線的性質，即可推出△EFB為等邊三角形，（2）①根據（1）的推理依據，即可推出△EFB為等腰三角形，②根據題意畫出圖形，然后根據平行線的性質，通過求證△EAB≌△DAC，推出等量關系，即可推出△EFB為等腰三角形．
點評：本題主要考查等腰三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，關鍵在于根據題意畫出圖形，通過求證三角形全等，推出等量關系，即可推出結論．