Question

【題目】如圖，直線y＝ax+b與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，﹣2），與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點C（6，m）．

（1）求直線和反比例函數的表達式；

（2）連接OC，在x軸上找一點P，使△OPC是以OC為腰的等腰三角形，請求出點P的坐標；

（3）結合圖象，請直接寫出不等式≥ax+b的解集．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣2；y＝；（2）點P1的坐標為（，0），點P2的坐標為（﹣，0），（12，0）；（3）0＜x≤6

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出直線AB的函數表達式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點C的坐標，由點C的坐標，利用待定系數法即可求出反比例函數的表達式；

（2）過點C作CD⊥x軸，垂足為D點，利用勾股定理看求出OC的長，分OC＝OP和CO＝CP兩種情況考慮：①當OP＝OC時，由OC的長可得出OP的長，進而可求出點P的坐標；②當CO＝CP時，利用等腰三角形的性質可得出OD＝PD，結合OD的長可得出OP的長，進而可得出點P的坐標；

（3）觀察圖形，由兩函數圖象的上下位置關系，即可求出不等式≥ax+b的解集．

解：（1）將A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝ax+b，得：

，解得：，

∴直線AB的函數表達式為y＝x﹣2．

當x＝6時，y＝x﹣2＝1，

∴點C的坐標為（6，1）．

將C（6，1）代入y＝，得：1＝，

解得：k＝6，

∴反比例函數的表達式為y＝．

（2）過點C作CD⊥x軸，垂足為D點，則OD＝6，CD＝1，

∴OC＝．

∵OC為腰，

∴分兩種情況考慮，如圖1所示：

①當OP＝OC時，∵OC＝，

∴OP＝，

∴點P1的坐標為（，0），點P2的坐標為（﹣，0）；

②當CO＝CP時，DP＝DO＝6，

∴OP＝2OD＝12，

∴點P3的坐標為（12，0）．

（3）觀察函數圖象，可知：當0＜x＜6時，反比例函數y＝的圖象在直線y＝x﹣2的上方，

∴不等式≥ax+b的解集為0＜x≤6．