Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點P為AD延長線上一點，連接AC、CP，過點C作CF⊥CP交于C，交AB于點F，過點B作BM⊥CF于點N，交AC于點M．

（1）若AP=AC，BC=4，求S△ACP；

（2）若CP﹣BM=2FN，求證：BC=MC；

（3）如圖2，在其他條件不變的情況下，將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且AB≠BC，AC=AP，取CP中點E，連接EB，交AC于點O，猜想：∠AOB與∠ABM之間有何數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）證明見解析；（3）∠AOB=3∠ABM，理由見解析．

【解析】

（1）由正方形的性質得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC，得出AP，即可求出S△ACP；

（2）在CF上截取NG=FN，連接BG，則CF﹣CG=2FN，證出∠BCF=∠DCP，由ASA證明△BCF≌△DCP，得出CF=CP，證出CG=BM，由SAS證明△ABM≌△BCG，得出∠AMB=∠BGC，因此∠BMC=∠BGF，由線段垂直平分線的性質得出BF=BG，得出∠BFG=∠BGF，因此∠BMC=∠CBM，即可得出結論；

（3）連接AE，先證出∠BCA=2∠PAE，再證明A、D、E、C四點共圓，由圓周角定理得出∠DCP=∠PAE，得出∠BCF=∠PAE，證出∠BCA=2∠ABM，然后由三角形的外角性質即可得出結論．

解：（1）∵四邊形ABC是正方形，

∴AD∥BC，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，

∴AC==4，

∴AP=AC=×4=，

∴S△ACP=AP×CD=××4=7；

（2）在CF上截取NG=FN，連接BG，如圖1所示：

則CF﹣CG=2FN，

∵CF⊥CP，

∴∠PCF=90°，

∴∠BCF=∠DCP，

在△BCF和△DCP中，，

∴△BCF≌△DCP（ASA），

∴CF=CP，

∵CP﹣BM=2FN，

∴CG=BM，

∵∠ABC=90°，BM⊥CF，

∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，

在△ABM和△BCG中，，

∴△ABM≌△BCG（SAS），

∴∠AMB=∠BGC，

∴∠BMC=∠BGF，

∵GN=FN，BM⊥CF，

∴BF=BG，

∴∠BFG=∠BGF，

∴∠BMC=∠CBM，

∴BC=MC；

（3）∠AOB=3∠ABM；理由如下：

連接AE，如圖2所示：

∵AC=AP，E是CP的中點，

∴AE⊥CP，∠PAE=∠CAE，

∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE，

∵CF⊥CP，

∴∠PCF=90°，

∴∠BCF=∠DCP，

∵∠ADC=∠AEC=90°，

∴A、D、E、C四點共圓，

∴∠DCP=∠PAE，

∴∠BCF=∠PAE，

又∵∠ABM=∠BCF，

∴∠ABM=∠BCF=∠PAE，

∴∠BCA=2∠ABM，

∵∠AOB=∠BCF+∠BCA，

∴∠AOB=3∠ABM．