Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段AC 上由點A向C點以4cm/s的速度運動．
（1）若點P、Q兩點分別從B、A 兩點同時出發，經過2秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
（2）若點P、Q兩點分別從B、A 兩點同時出發，△CPQ的周長為18cm，問：經過幾秒后，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）經過1秒后，PB=2m，PC=8m，CQ=6m，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即據SAS可證得△BPD≌△CQP．
（2）可設點Q的運動時間為ts△CPQ是等腰三角形，則可知PB=2tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，據（1）同理可得當BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC時△CPQ為等腰三角形，從而求得t的值．

解答：解：（1），△BPD與△CQP是全等．理由如下：
當P，Q兩點分別從B，A兩點同時出發運動2秒時
有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm
則CP=BC-BP=10-4=6cm
CQ=AC-AQ=12-8=4cm          …（2分）
∵D是AB的中點
∴BD=

1

2

AB=

1

2

×12=6cm
∴BP=CQ，BD=CP             …（3分）
又∵△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠C                    …（4分）
在△BPD和△CQP中
BP=CQ
∠B=∠C
BD=CP
∴△BPD≌△CQP（SAS）         …（6分）

（2）設當P，Q兩點同時出發運動t秒時，
有BP=2t，AQ=4t
∴t的取值范圍為0＜t≤3
則CP=10-2t，CQ=12-4t            …（7分）
∵△CPQ的周長為18cm，
∴PQ=18-（10-2t）-（ 12-4t）=6t-4   …（8分）
要使△CPQ是等腰三角形，則可分為三種情況討論：
①當CP=CQ時，則有10-2t=12-4t
解得：t=1     …（9分）
②當PQ=PC時，則有6t-4=10-2t
解得：t=

7

4

…（10分）
③當QP=QC時，則有6t-4=12-4t
解得：t=

8

5

…（11分）
三種情況均符合t的取值范圍．
綜上所述，經過1秒或

7

4

秒或

8

5

秒時，△CPQ是等腰三角形…（12分）

點評：本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．