Question

9．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是邊AD上的點，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，有下列結論：①AD=AB+CD，②E為AD的中點，③BC=AB+CD，④BE⊥CE，其中正確的有②③④．（填序號）

Answer 1

分析 根據兩直線平行，同旁內角互補可得∠ABC+∠DCB=180°，又BE、CE都是角平分線，可以推出∠EBC+∠ECB=90°，從而得到∠BEC=90°，然后延長BE交CD的延長線于點F，先證明△BCE≌△FFE（ASA），得到BC=FC，BE=FE，然后證明△ABE≌△FDE（ASA），從而可以證明②③正確，AD與BC不一定相等，所以①不正確．

解答 解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-90°=90°，
∴BE⊥CE
故④正確；
如圖，延長BE交CD延長線于F，

∵∠BEC=90°，
∴CE⊥BF，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE，
在△BCE與△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠FCE}\\{EC=EC}\\{∠BEC=∠FEC=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FFE（ASA），
∴BC=FC，BE=FE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
在△ABE與△FDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠F}\\{BE=FE}\\{∠AEB=∠FED}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FDE（ASA），
∴AB=DF，
∴BC=CF=CD+DF=CD+AB，故③正確；
∵△ABE≌△FDE，
∴AE=DE，即點E為AD的中點，故②正確；
∵AD≠BC，
∴AD≠CD+AB，故①錯誤；
故答案為：②③④．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定及性質，平行線的性質，角平分線的定義，證明BE⊥CE并作出輔助線是解題的關鍵．