Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，Rt△DEF中，∠F=90°，DF=4，EF=3．E、F兩點在BC邊上，且DE、DF與AB邊分別交于點G、H． 固定△ABC不動，△DEF從點F與點B重合的位置出發，沿BC以每秒1個單位長得速度向點C勻速運動；點P從點F出發，沿折線FD-DE以每秒1個單位長得速度勻速運動．△DEF與點P同時出發，當點E到達點C時停止運動，點P也隨之停止．設運動的時間時t秒（t＞0）．
（1）當t=1時，FH=

 

，DH=

 

，DG=

 

；
（2）當點P到達點G時，求t的值；
（3）連接CP，當∠PCF=∠B時，求t的值？

Answer 1

分析：（1）當t=1，得到BF=1，PF=1，根據BF：BC=HF：AC，即可求出HF，利用Rt△BEG∽Rt△BAC，可求出EG，得到DG；
（2）根據題意得到PD=PE，則BF=t，PF=t，DF=4．利用相似三角形的性質得到

16

5

-

3

5

t=t-4，解得t值即可．
（3）分當0＜t≤4時，和當4＜t≤5時兩種情況，利用∠PCF=∠B得到△PCK∽△ABC，利用相似三角形的性質求得t值即可．

解答：解：（1）

3

4

，

13

4

，

13

5

；

（2）∵BF=t，
∴由△HBF∽△ABC，得到FH=

3

4

t，
∴DH=4-

3

4

t，
由△HDG∽△HBF，得DG=

16

5

-

3

5

t，
∵點P到達G點，
∴

16

5

-

3

5

t=t-4，
∴t=

9

2

．

（3）當0＜t≤4時，
若∠PCF=∠B，則△PCF∽△ABC
∵PF=t，CF=8-t，
∴

t

8-t

=

3

4

，
∴t=

24

7

當4＜t≤5時，作PK⊥BC于K，
若∠PCF=∠B，則△PCK∽△ABC，
∵PK=

4

5

(9-t)，CK=5-t-

3

5

（9-t）
∴

4 5 (9-t)

5-t- 3 5 (9-t)

=

3

4

解得t=

3

2

（舍去）
∴t=

24

7

．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質，也考查了分類討論思想的運用以及勾股定理．