Question

如圖，直線y=2x-6與x軸交于點A，與y軸交與點B，M是線段AB上一點，BM=2AM，反比例函數圖象經過點M，
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求反比例函數解析式；
（3）已知點M′與點M關于原點對稱，則△ABM′的面積為______．

Answer 1

解：（1）當x=0，y=-2x-6=-6；當y=0，-2x-6=0，解得x=-3，
∴A點坐標為（-3，0），B點坐標為（0，-6）；

（2）過點M作MN⊥y軸于N，如圖
∴△BMN∽△BAO，
∴=，
∵BM=2AM，
∴AB=BM，
而OA=3，
∴=，解得MN=2，
∴M點的橫坐標為-2，
把x=-2代入y=-2x-6得y=4-6=-2，
∴M點坐標為（-2，-2），
設反比例函數解析式為y=，
把M（-2，-2）代入y=得k=-2×（-2）=4，
∴反比例函數的解析式為y=；

（3）直線BM′交x軸于C點，如圖，
∵點M′與點M關于原點對稱，
∴點M′的坐標為（2，2），
設直線BM′的解析式為y=ax+b，
把B（0，-6）和M′（2，2）代入得，
解得，
∴直線BM′的解析式為y=4x-6，
把y=0代入得4x-6=0，解得x=，
∴C點坐標為（，0），
∴S△ABM′=S_△BAC+S_△M′AC
=×（3+）×6+×（3+）×2
=18．
故答案為18．
分析：（1）分別把x=0和y=0代入y=-2x-6可確定A點坐標為（-3，0），B點坐標為（0，-6）；
（2）過點M作MN⊥y軸于N，利用△BMN∽△BAO得到=，由于BM=2AM，OA=3可解得MN=2，然后利用M點在y=-2x-6可確定M點坐標；再利用待定系數法確定反比例函數的解析式；
（3）根據點關于原點對稱的特點得到點M′的坐標為（2，2），再利用待定系數法確定直線BM′的解析式為y=4x-6，再確定C點坐標為（，0），然后利用S△ABM′=S_△BAC+S_△M′AC
進行計算．
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的交點坐標滿足兩個函數的解析式．也考查了三角形面積公式以及待定系數法求函數的解析式．