Question

【題目】如圖，Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，連接CC′交斜邊于點E，CC′的延長線交BB′于點F．
（1）證明：△ACE∽△FBE；
（2）設∠ABC=α，∠CAC′=β，試探索α、β滿足什么關系時，△ACE與△FBE是全等三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，

∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，

∴∠CAB+∠BAC′=∠C′AB′+∠BAC′，即∠CAC′=∠BAB′，

∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，

∴∠ACC′=∠ABB′，

又∵∠AEC=∠FEB，

∴△ACE∽△FBE

（2）解：當β=2α時，△ACE≌△FBE．

在△ACC′中，

∵AC=AC′，

∴∠ACC′= = =90°﹣α，

在Rt△ABC中，

∠ACC′+∠BCE=90°，即90°﹣α+∠BCE=90°，

∴∠BCE=α，

∵∠ABC=α，

∴∠ABC=∠BCE，

∴CE=BE，

由（1）知：△ACE∽△FBE，

∴∠BEF=∠CEA，∠FBE=∠ACE，

又∵CE=BE，

∴△ACE≌△FBE

【解析】（1）欲證△ACE∽△FBE，通過觀察發現兩個三角形已經具備一組角對應相等，即∠AEC=∠FEB，此時，再證∠AC′C=∠ABB′即可．（2）欲證△ACE≌△FBE，由（1）知△ACE∽△FBE，只需證明CE=BE，由已知可證∠ABC=∠BCE=α，即證β=2α時，△ACE≌△FBE．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定的相關知識，掌握相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS），以及對旋轉的性質的理解，了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．