Question

如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若AB長為2

3

，則PM+PB的最小值是

3

．

Answer 1

分析：先連接BD，因為四邊形ABCD是菱形且∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形，由于菱形的對角線互相垂直平分，所以點D是點B關于AC的對稱點，AD=BD，連接MD，由等邊三角形的性質可知DM⊥AB，再根據勾股定理即可求出BD的長．

解答：解：先連接BD，交AC于點P′，連接DM，BE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，BE=DE，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，點D是點B關于AC的對稱點，則BP′=DP′，
∴當P于P′重合時PM+PB的值最小，最小值為MD，
∵M是AB的中點，△ABD是等邊三角形，
∴DM⊥AB，
∵AD=2

3

，AM=

3

，
∴DM=

AD2-AM2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3．
故答案為：3．

點評：本題考查的是最短線路問題及菱形的性質，由菱形的性質得出點D是點B關于AC的對稱點是解答此題的關鍵．