Question

對于函數圖象上的點有如下定義：若當自變量x=x₀時，其函數值y恰好也為x₀，則點（x₀，x₀）為這個函數的和諧點，已知函數y=

3x+a

x+b

(a、b為常數)，請運用定義進行解答
（1）若y=

3x+a

x+b

有和諧點（4，4），（-2，-2），求a、b的值；
（2）若函數y=

3x+a

x+b

中a=4，且函數有兩個關于原點對稱的和諧點，則函數y=

3x+a

x+b

與y=-

5

x+3

的圖象有怎么樣的位置關系？
（3）若函數y=

3x+a

x+b

的圖象上有兩個關于原點對稱的和諧點，求a、b應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）把（4，4），（-2，-2）代入函數解析式得到關于a，b的方程組，然后解方程組就可以確定函數的解析式；
（2）根據兩點關于原點知道：縱坐標相同，橫坐標互為相反數，因而可以設兩個和諧點的橫坐標分別是：x和-x，代入函數的解析式，即可得到關于b和x的方程，從而求得b的值，進而確定兩個函數的圖象的關系；
（3）根據（2）的方法：可以設兩個和諧點的橫坐標分別是：x和-x，代入函數的解析式，即可得到關于a，b和x的方程，即可求得a的范圍．

解答：解：（1）將（4，4）、（-2，-2）代入y=

3x+a

x+b

，得到：

12+a 4+b =4 -6+a -2+b =-2

，
解得：

a=16 b=-3

；

（2）設兩個和諧點的橫坐標分別是：x和-x，根據題意得：

3x+4

x+b

=x，則x²+（b-3）x-4=0…①；

-3x+4

-x+b

=-x，則x²-（b-3）x-4=0…②．
①-②得：b-3=0．則b=3．
則y=

3x+a

x+b

=

3x+4

x+3

=3-

5

x+3

，
則函數y=

3x+a

x+b

的圖象向下移動3個單位長度即可得到y=-

5

x+3

的圖象；

（3）設兩個和諧點的橫坐標分別是：x和-x，則

3x+a

x+b

=x，即x²+（b-3）x-a=0…③；

-3x+a

-x+b

=-x，則x²-（b-3）x-a=0…④．
③-④得：b-3=0，則b=3．
③+④得：2x2-2a=0，即a=x²．
又∵x與-x的值不同，則x≠0，因而a＞0；
∵-x+b≠0，
∴a≠9．
故a的范圍是：a＞0且a≠9．

點評：此題首先考查了用待定系數法確定函數的解析式，然后考查了利用平移規律找到幾個圖象相同的函數之間的聯系．