Question

【題目】在△ABC中，已知∠A=60°，∠ABC的平分線BD與∠ACB的平分線CE相交于點O，∠BOC的平分線交BC于F，有下列結論：①∠BOE=60°，②∠ABD=∠ACE，③OE=OD，④BC=BE+CD。其中正確的是_________。（把所有正確結論的序號都選上）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①正確．根據外角的性質得：∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°；
②不正確．∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，當AB=AC時，∠ABC=∠ACB，才有∠ABD=∠ACE；
③只要證明△BOE≌△BOF，△CDO≌△CFO，即可解決問題；
④根據③中的三角形全等，可得對應邊相等，相加可得結論．

解：①如圖，∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BD、CE分別是∠ABC和∠BCA的平分線，
∴∠OBC+∠OCB=×120°=60°，
∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°
故①正確；
②∵BD、CE分別是∠ABC和∠BCA的平分線，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，
當AB=AC時，∠ABC=∠ACB，
而已知AB和AC沒有相等關系，
故②不正確；
③∵∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF=60°，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠BOF，
在△BOE和△BOF中，
∵
∴△BOE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
同理得：△CDO≌△CFO，
∴OD=OF，
∴OD=OE，
故③正確；
④∵△BOE≌△BOF，△CDO≌△CFO，
∴BF=BE，CF=CD，
∴BC=CF+BF=BE+CD，
故④正確；
則下列說法中正確的是：①③④
故答案為①③④．