Question

（1）若一個凸多邊形的內角和是2340°，求這個多邊形的邊數；
（2）一個凸多邊形去掉一個內角后，其余所有內角的和為2008°，求這個多邊形的邊數和去掉的那個內角的度數．

Answer 1

分析：（1）n邊形的內角和是（n-2）•180°，如果已知多邊形的內角和，就可以得到一個關于邊數的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數．
（2）n邊形的內角和是（n-2）•180°，因而內角和一定是180度的倍數，而多邊形的內角一定大于0，并且小于180度．因而內角和去掉一個內角的值，這個值除以180度，所得數值比邊數n-2要大，大的值小于1．則用內角和于內角的和除以180所得值，加上2，比這個數大的最小的整數就是多邊形的邊數．

解答：解：（1）設這個多邊形的邊數是n．
由題意得：（n-2）×180°=2340°，
解得n=15．
所以這個多邊形的邊數是15．

（2）設這個多邊形的邊數是m，去掉的那個內角為α．
則（m-2）×180°=2008°+α，
由于0°＜α＜180°，
所以0°＜（m-2）×180°-2008°＜180°，
整理得2008＜（m-2）×180＜2008+180，
即

2008

180

＜n-2＜

2008

180

+1，11

7

45

＜m-2＜12

7

45

．
因為m是正整數，所以m-2=12，m=14，所以這個多邊形的邊數為14，
去掉的那個內角為α=（14-2）×180°-2008°=152°．

點評：本題考查的是多邊形的內角與外角，熟知多邊形的內角和定理是解答此題的關鍵．