Question

如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的圓O交AC于點D，過點D作⊥DE⊥BC，垂足為E，連接OE．若CD=

3

，∠ACB=30°，
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求OE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD=DC，根據三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據切線的判定推出即可；
（2）解直角三角形求出BC、BD，求出AB得出OD，根據三角形的面積公式求出高DE，在△ODE中，根據勾股定理求出OE即可．

解答：（1）證明：連接OD、BD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D為AC中點，
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵CD=

3

，∠ACB=30°，
∴cos30°=

CD

BC

，
∴BC=2，
∴BD=

1

2

BC=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴OD=1，
在Rt△CDB中，由三角形面積公式得：BC×DE=BD×CD，
1×

3

=2DE，
DE=

3

2

，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．

點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，三角形的面積公式，含30度角的直角三角形，解直角三角形等知識點的綜合運用．