Question

如圖，已知圓O₁與圓O₂相交于A，B兩點，直線O₁A交圓O₁于C，交圓O₂于D，連接CB并延長交圓O₂于E，AF切圓O₁于A，交CE于F．
（1）求證：

CA

CD

=

AF

DE

；
（2）若

CA

AD

=

3

2

，圓O₁的半徑為2，且∠C=30°，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）觀察要證明的比例式，則需要證明AF∥DE．連接AB．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠ABC=90°，再根據圓內接四邊形的外角等于它的內對角，得∠CBA=∠D=90°，根據切線的性質，得∠CAF=90°，從而根據同位角相等，得兩條直線平行；
（2）由（1）得直角三角形CDE，要求DE的長，已知∠C=30°，只需求得該直角三角形的一邊即可．根據已知圓的半徑，得AC=4，結合（1）所證明的比例式即可求解．

解答：（1）證明：連接AB．
∵AC是直徑，
∴∠CBA=90°．
又∵四邊形ABED內接于⊙O₂，
∴∠CBA=∠D=90°．
又∵AF切⊙O₁于A點，
∴∠CAF=90°．
∴AF∥DE．
∴

CA

CD

=

AF

DE

．

（2）解：∵

CA

AD

=

3

2

，
又∵CA=1，
∴CD=

20

3

．
在Rt△CDE中，tan30°=

DE

20 3

，
∴DE=

20

9

3

．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、圓內接四邊形的性質、切線的性質、平行線分線段成比例定理以及解直角三角形的知識．