Question

8．如圖，一直動點A在函數$y=\frac{4}{x}（x＞0）$的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC，直線DE分別交于x軸于點P、Q，當$\frac{QE}{DP}=\frac{4}{9}$時，圖中陰影部分的面積等于$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 作DF⊥x軸于點F，EG⊥y軸于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到$\frac{EG}{PF}$=$\frac{QE}{DP}$=$\frac{4}{9}$，設EG=4t，則PF=9t，然后根據△ADE∽△FPD，據此即可得到關于t的方程，求得t的值，進而求解．

解答 解：作DF⊥x軸于點F，EG⊥y軸于G，
∴△QEG∽△DPF，
∴$\frac{EG}{PF}$=$\frac{QE}{DP}$=$\frac{4}{9}$，
設EG=4t，則PF=9t，
∴A（4t，$\frac{1}{t}$），
∵AC=AE，AD=AB，
∴AE=4t，AD=$\frac{1}{t}$，DF=$\frac{1}{t}$，PF=9t，
∵△ADE∽△FPD，
∴AE：DF=AD：PF，即4t：$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{t}$：9t，即t²=$\frac{1}{6}$，
圖中陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×4t×4t+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{t}$×$\frac{1}{t}$=$\frac{13}{3}$．
故答案為：$\frac{13}{3}$．

點評 本題考查了反比例函數綜合題，涉及到從反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|，也考查了相似三角形的判定與性質．