Question

【題目】【探究證明】

(1)在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F，GH分別交AD，BC于點G，H.，求證：；

【結論應用】

(2)如圖2，在滿足(1)的條件下，又AM⊥BN，點M，N分別在邊BC，CD上．若，求；

【聯系拓展】

(3)如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2)；（3）.

【解析】分析：(1)過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，根據矩形的性質證明△PDA∽△QAB；(2)根據(1)的結論可得；(3)過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線與S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程組求出AR，AB，結合(1)的結論求解.

詳解：(1)如圖1，過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四邊形AEFP，四邊形BHGQ都是平行四邊形，

∴AP＝EF，GH＝BQ．

又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，

∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.

∴，∴.

(2)如圖2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，

∴由(1)的結論可得，，

∴.

(2)如圖3，過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線與S，則四邊形ABSR是平行四邊形．

∵∠ABC＝90°，∴ABSR是矩形，

∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．

∵AM⊥DN，∴由(1)中的結論可得．

設SC＝x，DS＝y，則AR＝BS＝5＋x，RD＝10﹣y，

∴在Rt△CSD中，x2＋y2＝25①，

在Rt△ARD中，(5＋x)2＋(10﹣y)2＝100②，

由②﹣①得x＝2y﹣5③，

，解得，(舍)，

所以AR＝5＋x＝8，則.