Question

如圖，小區中央公園要修建一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子OA，O恰好在水面的中心，OA=1.25米．由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計水流在離OA距離為1米處達到距水面的最大高度2.25米．

（1）建立適當的平面直角坐標系，使A點的坐標為（0，1.25），水流的最高點的坐標為（1，2.25），求水流的拋物線路線在第一象限內對應的函數關系式（不要求寫取值范圍）；
（2）若不計其他因素，則水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落到池外？
（3）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池半徑為3.5米，要使水流不落到池外，此時水流距水面的最大高度就達到多少米？

Answer 1

解：（1）以柱子OA所在的直線為y軸，垂直于OA的直線為x建立平面直角坐標系，
因為頂點為（1，2.25），
設解析式為y=a（x-1）²+2.25過點（0，1.25），
解得a=-1，
所以解析式為：y=-（x-1）²+2.25；

（2）由（1）可知：y=-（x-1）²+2.25，
令y=0，
則-（x-1）²+2.25=0，
解得x=2.5 或x=-0.5（舍去），
所以花壇半徑至少為2.5m；

（3）（2）根據題意得出：
設y=-x²+bx+c，
把點（0，1.25）（3.5，0），
，
解得：，
則y=-x²+x+=-（x-）²+，
故水池的半徑為3.5m，要使水流不落到池外，此時水流最大高度應達．
分析：（1）以柱子OA所在的直線為y軸，垂直于OA的直線為x建立平面直角坐標系，根據已知得出二次函數的頂點坐標，即可利用頂點式得出二次函數解析式，
（2）令y=0，則-（x-1）²+2.25=0，求出x的值即可得出答案，
（3）當水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，即a=-1，當x=3.5時，y=0，進而求出答案即可．
點評：此題主要考查了二次函數的實際應用，根據實際問題運用二次函數最大值求二次函數解析式，此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．