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【題目】如圖,已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點,拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點,點C是拋物線與x軸的另一個交點(與A點不重合).

(1)求拋物線的解析式:
(2)求△ABC的面積;
(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使△ABM周長最短?若不存在,請說明理由;若存在,求出點M的坐標.

【答案】
(1)

解:在y=3x﹣3中,令y=0可求得x=1,令x=0可得y=﹣3,

∴A(1,0),B(0,﹣3),

把A、B兩點的坐標分別代入y=x2+bx+c得 ,解得

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3


(2)

解:令y=0得0=x2+2x﹣3,解得x1=1,x2=﹣3

∴C(﹣3,0),AC=4

∴SABC= ACOB= ×4×3=6


(3)

解:∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,

∴拋物線的對稱軸為x=﹣1,

∵A、C關于對稱軸對稱,

∴MA=MC,

∴MB+MA=MB+MC,

∴當B、M、C三點在同一條直線上時MB+MC最小,此時△ABM的周長最小,

∴連接BC交對稱軸于點M,則M即為滿足條件的點,

設直線BC的解析式為y=kx+m,

∵直線BC過點B(0,﹣3),C(﹣3,0),

,解得 ,

∴直線BC的解析式y=﹣x﹣3,

當x=﹣1時,y=﹣2,

∴M(﹣1,﹣2),

∴存在點M使△ABM周長最短,其坐標為(﹣1,﹣2)


【解析】(1)由直線解析式可求得A、B兩點的坐標,根據待定系數法可求得拋物線解析式;(2)由拋物線解析式可求得C點坐標,再根據三角形的面積可求得答案;(3)連接BC交對稱軸于點M,由題意可知A、C關于對稱軸對稱,則可知MA=MC,故當B、M、C三點在同一條直線上時MA+MB最小,則△ABM的周長最小,由B、C坐標可求得直線BC的解析式,則可求得M點的坐標.
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】目前,某市正積極推進“五城聯創”,其中擴充改造綠地是推進工作計劃之一.現有一塊直角三角形綠地,量得兩直角邊長分別為a=9m和b=12m,現要將此綠地擴充改造為等腰三角形,且擴充部分包含以b=12m為直角邊的直角三角形,則擴充后等腰三角形的周長為___________.

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科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】某同學上學期的數學歷次測驗成績如下表所示:

測驗類別

平時測驗

期中測驗

期末測驗

1

2

3

成績

100

106

106

105

110

(1)該同學上學期5次測驗成績的眾數為 ,中位數為

(2)該同學上學期數學平時成績的平均數為 ;

(3)該同學上學期的總成績是將平時測驗的平均成績、期中測驗成績、期末測驗成績按照2:3:5的比例計算所得,求該同學上學期數學學科的總評成績(結果保留整數)。

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科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,E,F分別是菱形ABCD的邊AB,AD的中點,且AB=5,AC=6.

(1)求對角線BD的長;

(2)求證:四邊形AEOF為菱形.

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科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A﹣2,3),B﹣6,0),C﹣1,0).

1)請直接寫出點B關于點A對稱的點的坐標;

2)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉90°,畫出圖形,直接寫出點B的對應點的坐標;

3)請直接寫出:以AB、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標.

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科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,△APB與△CDP均為等邊三角形,且PAPDPAPD.有下列三個結論:①∠PBC=15°;ADBC③直線PCAB垂直.其中正確的有(  )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,數軸上有 A、B 兩點,所表示的有理數分別為 ab,已知 AB=12,原點 O 是線段AB 上的一點,且 OA=2OB.

1ab;

2若動點 PQ 分別從 A,B 同時出發,向右運動,點 P 的速度為每秒 2 個單位長度,點 Q 的速度為每秒 1 個單位長度,設運動時間為 t 秒,當點 P 與點 Q 重合時,P,Q 兩點停止運動.

①當 t 為何值時,2OPOQ=4

②當點 P 到達點 O 時,動點 M 從點 O 出發,以每秒 3 個單位長度的速度也向右運動,當點 M 追上點 Q 后立即返回,以同樣的速度向點 P 運動,遇到點 P 后再立即返回,以同樣的速度向點 Q 運動,如此往返,直到點 P,Q 停止時,點 M 也停止運動,求在此過程中點 M 行駛的總路程,并直接寫出點 M 最后位置在數軸上所對應的有理數.

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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,DBC上任意一點,過點D分別向AB、AC引垂線,垂足分別為點E、F.

(1)如圖①,當點DBC的什么位置時,DE=DF?并證明;

(2)在滿足第一問的條件下,連接AD,此時圖中共有幾對全等三角形?請寫出所有的全等三角形(不必證明);

(3)如圖②,過點CAB邊上的高CG,請問DE、DF、CG的長之間存在怎樣的等量關系?并加以證明.

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科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=kx和雙曲線在第一象限相交于點A(1,2),點B在y軸上,且AB⊥y軸.有一動點P從原點出發沿y軸以每秒1個單位的速度向y軸的正方向運動,運動時間為t秒(t>0),過點P作PD⊥y軸,交直線OA于點C,交雙曲線于點D.

(1)求直線y=kx和雙曲線的函數關系式;

(2)設四邊形CDAB的面積為S,當P在線段OB上運動時(P不與B點重合),求S與t之間的函數關系式;

(3)在圖中第一象限的雙曲線上是否存在點Q,使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出此時t的值和Q點的坐標;若不存在,請說明理由.

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