【題目】如圖,已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點,拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點,點C是拋物線與x軸的另一個交點(與A點不重合).
(1)求拋物線的解析式:
(2)求△ABC的面積;
(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使△ABM周長最短?若不存在,請說明理由;若存在,求出點M的坐標.
【答案】
(1)
解:在y=3x﹣3中,令y=0可求得x=1,令x=0可得y=﹣3,
∴A(1,0),B(0,﹣3),
把A、B兩點的坐標分別代入y=x2+bx+c得 ,解得
,
∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3
(2)
解:令y=0得0=x2+2x﹣3,解得x1=1,x2=﹣3
∴C(﹣3,0),AC=4
∴S△ABC= ACOB=
×4×3=6
(3)
解:∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴拋物線的對稱軸為x=﹣1,
∵A、C關于對稱軸對稱,
∴MA=MC,
∴MB+MA=MB+MC,
∴當B、M、C三點在同一條直線上時MB+MC最小,此時△ABM的周長最小,
∴連接BC交對稱軸于點M,則M即為滿足條件的點,
設直線BC的解析式為y=kx+m,
∵直線BC過點B(0,﹣3),C(﹣3,0),
∴ ,解得
,
∴直線BC的解析式y=﹣x﹣3,
當x=﹣1時,y=﹣2,
∴M(﹣1,﹣2),
∴存在點M使△ABM周長最短,其坐標為(﹣1,﹣2)
【解析】(1)由直線解析式可求得A、B兩點的坐標,根據待定系數法可求得拋物線解析式;(2)由拋物線解析式可求得C點坐標,再根據三角形的面積可求得答案;(3)連接BC交對稱軸于點M,由題意可知A、C關于對稱軸對稱,則可知MA=MC,故當B、M、C三點在同一條直線上時MA+MB最小,則△ABM的周長最小,由B、C坐標可求得直線BC的解析式,則可求得M點的坐標.
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
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【題目】目前,某市正積極推進“五城聯創”,其中擴充改造綠地是推進工作計劃之一.現有一塊直角三角形綠地,量得兩直角邊長分別為a=9m和b=12m,現要將此綠地擴充改造為等腰三角形,且擴充部分包含以b=12m為直角邊的直角三角形,則擴充后等腰三角形的周長為___________.
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【題目】某同學上學期的數學歷次測驗成績如下表所示:
測驗類別 | 平時測驗 | 期中測驗 | 期末測驗 | ||
第1次 | 第2次 | 第3次 | |||
成績 | 100 | 106 | 106 | 105 | 110 |
(1)該同學上學期5次測驗成績的眾數為 ,中位數為 ;
(2)該同學上學期數學平時成績的平均數為 ;
(3)該同學上學期的總成績是將平時測驗的平均成績、期中測驗成績、期末測驗成績按照2:3:5的比例計算所得,求該同學上學期數學學科的總評成績(結果保留整數)。
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【題目】如圖所示,已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(﹣2,3),B(﹣6,0),C(﹣1,0).
(1)請直接寫出點B關于點A對稱的點的坐標;
(2)將△ABC繞坐標原點O逆時針旋轉90°,畫出圖形,直接寫出點B的對應點的坐標;
(3)請直接寫出:以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標.
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【題目】如圖,△APB與△CDP均為等邊三角形,且PA⊥PD,PA=PD.有下列三個結論:①∠PBC=15°;②AD∥BC;③直線PC與AB垂直.其中正確的有( )
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
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【題目】如圖,數軸上有 A、B 兩點,所表示的有理數分別為 a、b,已知 AB=12,原點 O 是線段AB 上的一點,且 OA=2OB.
(1)求a,b;
(2)若動點 P,Q 分別從 A,B 同時出發,向右運動,點 P 的速度為每秒 2 個單位長度,點 Q 的速度為每秒 1 個單位長度,設運動時間為 t 秒,當點 P 與點 Q 重合時,P,Q 兩點停止運動.
①當 t 為何值時,2OPOQ=4;
②當點 P 到達點 O 時,動點 M 從點 O 出發,以每秒 3 個單位長度的速度也向右運動,當點 M 追上點 Q 后立即返回,以同樣的速度向點 P 運動,遇到點 P 后再立即返回,以同樣的速度向點 Q 運動,如此往返,直到點 P,Q 停止時,點 M 也停止運動,求在此過程中點 M 行駛的總路程,并直接寫出點 M 最后位置在數軸上所對應的有理數.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一點,過點D分別向AB、AC引垂線,垂足分別為點E、F.
(1)如圖①,當點D在BC的什么位置時,DE=DF?并證明;
(2)在滿足第一問的條件下,連接AD,此時圖中共有幾對全等三角形?請寫出所有的全等三角形(不必證明);
(3)如圖②,過點C作AB邊上的高CG,請問DE、DF、CG的長之間存在怎樣的等量關系?并加以證明.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=kx和雙曲線在第一象限相交于點A(1,2),點B在y軸上,且AB⊥y軸.有一動點P從原點出發沿y軸以每秒1個單位的速度向y軸的正方向運動,運動時間為t秒(t>0),過點P作PD⊥y軸,交直線OA于點C,交雙曲線于點D.
(1)求直線y=kx和雙曲線的函數關系式;
(2)設四邊形CDAB的面積為S,當P在線段OB上運動時(P不與B點重合),求S與t之間的函數關系式;
(3)在圖中第一象限的雙曲線上是否存在點Q,使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出此時t的值和Q點的坐標;若不存在,請說明理由.
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