Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A（-2，-3）、B（3，2）兩點，且與x軸相交于M、N兩點，當以線段MN為直徑的圓的面積最小時，求M、N兩點的坐標和四邊形AMBN的面積．

Answer 1

解：由拋物線經過A（-2，-3）、B（3，2）兩點可得b=1-a，c=-（1+6a）
∴MN=丨x₁-x₂丨=||=|±|==．
當a=-1時，MN_最小=2
此時，b=2，c=5，
∴函數的解析式為：y=-x²+2x+5．
∴M（1-，0），N（1+，0），
此時，四邊形AMBN的面積S=MN•（|y_A|+|y_B|）=×2×（3+2）=5．
分析：將點A、B的坐標分別代入已知函數解析式，即可求得以a表示的b、c的值；然后由兩點間的距離公式求得MN=，由二次函數的最值求得：
當a=-1時，MN_最小=2．從而易求點M、N的坐標；最后根據四邊形的面積=兩個三角形的面積之和來求四邊形AMBN的面積．
點評：本題考查了二次函數綜合題．其中涉及到的知識點有：待定系數法求二次函數的解析式，根與系數的關系與代數式的變形，二次函數最值的求法以及三角形面積的計算．在求四邊形AMBN的面積時，采用了“分割法”．