Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為一個矩形紙片，AB=3，BC=2，動點P自D點出發沿DC方向運動至C點后停止，△ADP以直線AP為軸翻折，點D落在點D1的位置，設DP=x，△AD1P與原紙片重疊部分的面積為y．

（1）當x為何值時，直線AD1過點C？
（2）當x為何值時，直線AD1過BC的中點E？
（3）求出y與x的函數表達式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

如圖1，∵由題意得：△ADP≌△AD1P，

∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，

∵直線AD1過C，

∴PD1⊥AC，

在Rt△ABC中，AC= = ，CD1= ﹣2，

在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，

即（3﹣x）2=x2+（ ﹣2）2，

解得：x= ，

∴當x= 時，直線AD1過點C

（2）

解：如圖2，

連接PE，

∵E為BC的中點，

∴BE=CE=1，

在Rt△ABE中，AE= = ，

∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，

∴D1E= ﹣2，PC=3﹣x，

在Rt△PD1E和Rt△PCE中，

x2+（ ﹣2）2=（3﹣x）2+12，

解得：x= ，

∴當x= 時，直線AD1過BC的中點E；

（3）

解：如圖3，

當0＜x≤2時，y=x，

如圖4，

當2＜x≤3時，點D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠2，

∵∠1=∠3（根據折疊），

∴∠2=∠3，

∴AF=PF，

作PG⊥AB于G，

設PF=AF=a，

由題意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，

在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，

解得：a= ，

所以y= = ，

綜合上述，當0＜x≤2時，y=x；當2＜x≤3時，y=

【解析】（1）根據折疊得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根據勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根據勾股定理得出方程，求出即可；（2）連接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根據勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根據勾股定理得出方程，求出即可；（3）分為兩種情況：當0＜x≤2時，y=x；當2＜x≤3時，點D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，設PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2 ， 求出a即可．
【考點精析】掌握全等三角形的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．