Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠ABC+2∠BCD＝180°，分別連接AC、BD，且∠BCD＝2∠ADB，若AD＝3，BC＝5，則AC的長度為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

延長CD，交BA的延長線于點E，分別過B，A作DE的垂線，垂足分別為F，H，推出BC＝BE＝5，設∠ADB＝α，則∠BCD＝∠E＝2α，推出△EDB為等腰三角形，則DE＝BE＝5，△ADE為“345”直角三角形，通過∠E的正弦函數可分別把AH，BF的長求出來，再利用勾股定理把EH，EF的長度求出來，推出AH的長，在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出AC的長．

解：如圖，延長CD，交BA的延長線于點E，分別過B，A作DE的垂線，垂足分別為F，H，

∵∠ABC+2∠BCD＝180°，∠ABC+∠BCD+∠E＝180°，

∴∠BCD＝∠E，

∴BC＝BE＝5，

設∠ADB＝α，則∠BCD＝∠E＝2α，

在Rt△BAD中，

∠ABD＝90°﹣α，

∴在△BDE中，

∠BDE＝180°﹣∠ABD﹣∠E

＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α

＝90°﹣α，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴EB＝ED＝5，

∴在Rt△EDA中，

AE＝

∵sin∠E＝，

∴AH＝，BF＝3，

在Rt△BEF中，

EF＝

∴CF＝EF＝4，EC＝8，

在Rt△EHA中，

EH＝

∴CH＝EC﹣EH＝，

在Rt△ACH中，

AC＝

故答案為：．