Question

3．如圖，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠1=∠2，EF∥AB，AC=6，BC=8．
（1）求證：CE=CG；
（2）求證：CE=FB；
（3）求FG的長．

Answer 1

分析 （1）根據外角的性質得到∠B=90°-∠BAD=∠ACB-∠BCD=∠ACD，根據已知條件得到∠CGE=∠B+∠2=∠ACD+∠1=∠AED=∠CEG，根據等腰三角形的判定定理即可得到結論；
（2）作GH⊥AB于H，根據角平分線的性質得到CG=GH，根據平行線的性質得到∠CEF=∠CDB，∠CFE=∠B，推出△CEF≌△GHB，根據全等三角形的性質得到CF=BG，根據等式的性質即可得到結論；
（3）由勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，根據三角形的面積公式得到CD=4.8，根據射影定理得到AD=3.6，由角平分線定理得到$\frac{CE}{ED}=\frac{AC}{AD}$=$\frac{5}{3}$求得CE=3，ED=1.8即可得到結論．

解答 （1）證明：∵∠CGE=∠B+∠2，CD⊥AB，
∴∠B=90°-∠BAD=∠ACB-∠BCD=∠ACD，
又∠1=∠2，
∴∠CGE=∠B+∠2=∠ACD+∠1=∠AED=∠CEG，
∴CE=CG；

（2）證明：作GH⊥AB于H，
∴CG=GH，
∵CE=CG，
∴CE=GH，
∵EF∥AB，
∴∠CEF=∠CDB，∠CFE=∠B，
在△CEF與△GHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠CDB}\\{∠CFE=∠B}\\{CE=GH}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△GHB，
∴CF=BG，
∴CE=FB；

（3）解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=4.8，
∵CA²=AD•AB，
∴AD=3.6，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{5}{3}$，
∵AE是角平分線，
∴$\frac{CE}{ED}=\frac{AC}{AD}$=$\frac{5}{3}$
∵CE+ED=CD=4.8，
∴CE=3，ED=1.8
∴FG=BC-BF-CG=8-2CE=8-6=2．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，勾股定理，射影定理，角平分線定理，正確的作出輔助線構造求三角形是解題的關鍵．