Question

在△ABC中
（1）如圖①，∠A=60°，∠B、∠C的平分線交于點P，求∠BPC的度數．
（2）如圖②，∠A=60°，∠B、∠C的三等分線交于點P（∠1=∠ABC，∠2=∠ACB），求∠BPC的度數．
（3）如圖③，∠A=x°，∠B、∠C的n等分線（n≥3）交于點P，求∠BPC的度數．

Answer 1

解：（1）∵∠B、∠C的平分線交于點P，
∴2∠PBC=∠ABC，2∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠PBC+2∠PCB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°；

（2）∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠PBC+∠PCB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠PBC+∠PCB=80°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=100°；

（3）∵∠B、∠C的n等分線（n≥3）交于點P，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠PBC+∠PCB=180°，
∵∠A=x°，
∴∠PBC+∠PCB=•180°-•x°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）==．
分析：（1）首先根據∠B、∠C的平分線交于點P與△ABC的內角和為180°，求得∠PBC+∠PCB的和，又由△PBC的內角和為180°，求得∠BPC的度數；
（2）首先根據∠B、∠C的三等分線分線交于點P，可得：∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，又由△ABC的內角和為180°，求得∠PBC+∠PCB的和，又由△PBC的內角和為180°，求得∠BPC的度數；
（3）首先根據∠B、∠C的三等分線分線交于點P，可得：∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
又由△ABC的內角和為180°，求得∠PBC+∠PCB的和，又由△PBC的內角和為180°，求得∠BPC的度數．
點評：此題考查了三角形內角和定理與角平分線的性質．解此題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．