Question

已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°．點P從點B出發以1cm/s的速度沿著射線BC運動，點Q從點C出發以2cm/s的速度沿著線段CD運動，當點Q運動到點D時，所有運動都停止．設運動時間為t秒．
（1）如圖1，當點P在線段BC上且△CPQ∽△DAQ時，求t的值；
（2）在運動過程中，設△APQ與梯形ABCD重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據相似三角形的性質列出等量關系，求出t的值；
（2）當點P在線段BC上時，S=S_梯形ABCD-S_△ADQ-S_△CPQ-S_△ABP，求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，當點P在線段BC的延長線上時，S=S_△AQE，求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

解答：解：（1）如圖1，分別過點A，B作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∵BC=20，∠C=180°-∠ABC=60°，
∴CN=10=DM，BN=10

3

，
∴CD=60．
∵△CPQ∽△DAQ，
∴

CP

DA

=

CQ

DQ

，
∴

20-t

20

=

2t

60-2t

，
∴t₁=10，t₂=60（不合題意），
∴t=10．（5分）


（2）當點P在線段BC上時，如圖2，過P作FG⊥CD于G，交AB延長線于F．
∴PF=

3

2

t，PG=

3

2

(20-t)，
∴S△ABP=

1

2

AB×PF=10

3

t，S△CPQ=

1

2

CQ•PG=

3

2

t(20-t)，
S=S_梯形ABCD-S_△ADQ-S_△CPQ-S_△ABP=500

3

-

1

2

(60-2t)×10

3

-

3

2

t(20-t)-10

3

t=

3

2

(t2-20t+400)．（0＜t≤20）（8分）
當點P在線段BC的延長線上時，如圖3，
過P作PH⊥AB于H，則
設AP與CD交于點E，
∵

EC

AB

=

PC

PB

，∴EC=

40t-800

t

，
∴QE=CQ-CE=

2t2-40t+800

t

．
∴y=

1

2

×

2t2-40t+800

t

×10

3

=

10 3 (t2-20t+400)

t

．（20＜t≤30）．（12分）

點評：本題考查相似三角形的判定和性質，有關梯形、三角形面積的相關知識解決函數問題．