Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（1，0），點B（0， ），把△ABO繞點O順時針旋轉，得A′B′O，記旋轉角為α．

（Ⅰ）如圖①，當α=30°時，求點B′的坐標；

（Ⅱ）設直線AA′與直線BB′相交于點M．

如圖②，當α=90°時，求點M的坐標；

②點C（﹣1，0），求線段CM長度的最小值．（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）B′（， ）；（Ⅱ）①M（， ），②最小值=﹣1．

【解析】試題分析：（Ⅰ）記A′B′與x軸交于點H．只要求出OH，B′H即可解決問題；
（Ⅱ）①作MN⊥OA于N，只要求出ON，MN即可解決問題；
②首先證明：點M的運動軌跡為以AB為直徑的⊙O′，當C、M、O′共線時，CM的值最小，最小值=CO-AB= -1；

試題解析：

（Ⅰ）記A′B′與x軸交于點H．

∵∠HOA′=α=30°，

∴∠OHA′=90°，

∴OH=OA′cos30°=，B′H=OB′cos30°=，

∴B′（， ）．

（Ⅱ）①∵OA=OA′，

∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，

∵OB=OB′，

∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，

顯然△AMB′是等腰直角三角形，

作MN⊥OA于N，

∵OB′=OA+AB′=1+2AN=，

∴MN=AN=，

∴M（， ）．

②如圖③中，

∵∠AOA′=∠BOB′，OA=OA′，OB=OB′，

∴∠OAA′=∠OA′A=∠OBB′=∠OB′B，

∵∠OAA′+∠OAM=180°，

∴∠OBB′+∠OAM=180°，

∴∠AOB+∠AMB=180°，

∵∠AOB=90°，

∴∠AMB=90°，

∴點M的運動軌跡為以AB為直徑的⊙O′，

當C、M、O′共線時，CM的值最小，最小值=CO′﹣AB=﹣1．