Question

【題目】如圖，以直角△AOC的直角頂點O為原點，以OC，OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，點A（0，a），C（b，0）滿足．

（1）點A的坐標為________；點C的坐標為________．

（2）已知坐標軸上有兩動點P，Q同時出發，P點從C點出發沿x軸負方向以每秒2個單位長度的速度勻速移動，Q點從O點出發沿y軸正方向以每秒1個單位長度的速度勻速移動，點P到達O點整個運動隨之結束．AC的中點D的坐標是（4，3），設運動時間為t秒．問：是否存在這樣的t，使得△ODP與△ODQ的面積相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

（3）在（2）的條件下，若∠DOC=∠DCO，點G是第二象限中一點，并且y軸平分∠GOD．點E是線段OA上一動點，連接接CE交OD于點H，當點E在線段OA上運動的過程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之間的數量關系，并證明你的結論（三角形的內角和為180°可以直接使用）．

Answer 1

【答案】（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4時，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由見解析．

【解析】

（1）根據算術平方根的非負性，絕對值的非負性即可求解；

（2）根據運動速度得到OQ=t，OP=8-2t，根據△ODP與△ODQ的面積相等列方程求解即可；

（3）由∠AOC=90°，y軸平分∠GOD證得OG∥AC，過點H作HF∥OG交x軸于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，從而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可證得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.

（1）∵，

∴a-b+2=0，b-8=0，

∴a=6，b=8，

∴A（0，6），C（8，0）；

故答案為：（0，6），（8，0）；

（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），

∴OA=6，OB=8，

由運動知，OQ=t，PC=2t，

∴OP=8-2t，

∵D（4，3），

∴，

，

∵△ODP與△ODQ的面積相等，

∴2t=12-3t，

∴t=2.4，

∴存在t=2.4時，使得△ODP與△ODQ的面積相等；

（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：

∵x軸⊥y軸，

∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，

∴∠OAC+∠ACO=90°.

又∵∠DOC=∠DCO，

∴∠OAC=∠AOD.

∵x軸平分∠GOD，

∴∠GOA=∠AOD.

∴∠GOA=∠OAC.

∴OG∥AC，

如圖，過點H作HF∥OG交x軸于F，

∴HF∥AC，

∴∠FHC=∠ACE.

∵OG∥FH，

∴∠GOD=∠FHO，

∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，

即∠GOD+∠ACE=∠OHC，

∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．