Question

5．已知△ABC≌△DEF，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．現將這兩個全等的直角三角形按圖①所示位置擺放，點A與點E重合，直角邊AC與EF在同一直線上，如圖②，現固定△ABC，將△DEF沿射線AC方向平行移動，運動過程中，直線DE與直線AB交于點M，點N是線段AC的中點，當點E運動到點N時停止運動．設AM=x．

（1）如圖①，求點A與點E重合時兩三角形重疊部分的面積；
（2）在△DEF運動過程中，△AMN能不能是以MN為腰的等腰三角形？若不能，請說明理由；若能，求出對應的x的值；
（3）在△DEF運動過程中，設兩個三角形重疊部分面積為y，直接寫出y與x的函數解析式及對應的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由兩三角形全等以及邊角關系，能夠找出重疊部分的兩條直角邊，利用三角形的面積公式即可得出結論；
（2）借助角的三角函數值，可將各邊換成含x的代數式，再由邊與邊的關系即可求出結論；
（3）分成三部分，每部分圖形樣式不同，畫出圖形，數形結合，即可得出結論．

解答 解：（1）令AB與DF交點為P，如圖1，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，AB=5，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=3，
∴FP=EF×tan∠BAC=3×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
△EFP=$\frac{1}{2}$×EF×FP=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$．
故點A與點E重合時兩三角形重疊部分的面積為$\frac{27}{8}$．
（2）假設存在，則分兩種情況：
①當NM=AM時，過M作MQ⊥AC于Q點，如圖2，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5（勾股定理），cos∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∵NM=AM，MQ⊥AC，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AN=AM×cos∠BAC=$\frac{4}{5}$x，
∵點N是線段AC的中點，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴有$\frac{4}{5}$x=1，解得x=$\frac{5}{4}$．
②當NM=AN時，過M作MQ₁⊥AC于Q₁點，如圖3，

∵AM=x，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴MQ₁=$\frac{3}{5}$x，AQ₁=$\frac{4}{5}$x，
∵AN=2，
∴NQ₁=AQ₁-AN=$\frac{4}{5}$x-2，
在直角△NMQ₁中，由勾股定理，得${（\frac{3}{5}x）}^{2}$+${（\frac{4}{5}x-2）}^{2}$=2²，
即x²-$\frac{16}{5}$x=0，解得x=0（舍去）或x=$\frac{16}{5}$．
結合①②得知，兩種情況下，點E都沒有運動到N點，故在△DEF運動過程中，△AMN能是以MN為腰的等腰三角形，此時x的值為$\frac{5}{4}$或$\frac{16}{5}$．
（3）①當F點在線段AC上時（同圖2），令DF與AB交于R點

此時有MQ=$\frac{3}{5}$x，AQ=$\frac{4}{5}$x，QE=$\frac{3}{4}$MQ=$\frac{9}{20}$x，AE=AQ-QE=$\frac{7}{20}$x，
∵F點在線段AC上，
∴0≤AE≤AC-EF，即0≤$\frac{7}{20}$x≤1，
∴0≤x≤$\frac{20}{7}$，
AF=AE+EF=$\frac{7}{20}$x+3，FR=$\frac{3}{4}$AF=$\frac{21}{80}$x+$\frac{9}{4}$，
CF=AC-AF=1-$\frac{7}{20}$x，
y=$\frac{1}{2}$×AB×BC-$\frac{1}{2}$×AE×MQ-$\frac{1}{2}$×（FR+BC）×CF=$\frac{27}{8}$+$\frac{63x}{80}$-$\frac{147{x}^{2}}{3200}$（0≤x≤$\frac{20}{7}$）．
②當F點在線段AC延長線上，且M點在線段AB上，（同圖3）此時$\frac{20}{7}$＜x≤5，
MQ₁=$\frac{3}{5}$x，AQ₁=$\frac{4}{5}$x，CQ₁=AC-AQ₁=4-$\frac{4}{5}$x，EQ₁=$\frac{3}{4}$MQ₁=$\frac{9}{20}$x，
y=$\frac{1}{2}$•EQ₁•MQ₁+$\frac{1}{2}$•（MQ₁+BC）•CQ₁=6-$\frac{69}{200}$•x²（$\frac{20}{7}$＜x≤5）．
③當M點在線段AB延長線上，且E點不超過N點，如圖4，

過M作MS⊥AC交AC延長線于S點，令DE與BC交點為T點，
MS=$\frac{3}{5}$x，SA=$\frac{4}{5}$x，SE=$\frac{3}{4}$MS=$\frac{9}{20}$x，AE=SA-SE=$\frac{7}{20}$x，CE=AC-AE=4-$\frac{7}{20}$x，CT=$\frac{4}{3}$CE=$\frac{16}{3}$-$\frac{7}{15}$x，
當N、E重合時，有AE=AN=2，即$\frac{7}{20}$x=2，解得x=$\frac{40}{7}$，
y=$\frac{1}{2}$•CE•CT=$\frac{32}{3}$-$\frac{28}{15}$x+$\frac{49}{600}$x²（5＜x≤$\frac{40}{7}$）．
綜合①②③得知y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{27}{8}+\frac{63}{80}x-\frac{147}{3200}{x}^{2}（0≤x≤\frac{20}{7}）}\\{6-\frac{69}{200}{x}^{2}（\frac{20}{7}＜x≤5）}\\{\frac{32}{3}-\frac{28}{15}x+\frac{49}{600}{x}^{2}（5＜x≤\frac{40}{7}）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了三角形的面積、三角函數以及勾股定理等知識，解題的關鍵是畫出圖形，利用數形結合即可方便快速的解決問題．