Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過原點O，與x軸交于點A(5，0)，第一象限的點C(m，4)在拋物線上，y軸上有一點B(0，10).

(I).求拋物線的解析式及它的對稱軸；

(Ⅱ)點在線段OB上，點Q在線段BC上，若，且,求n的值；

(Ⅲ)在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；對稱軸為直線；(Ⅱ)；(Ⅲ)點M的坐標為，，，．

【解析】

（Ⅰ）利用待定系數法求出拋物線解析式即可，根據x=-得出對稱軸即可；（Ⅱ）把C（m，4）代入解析式求出m的值，可得C點坐標，過C作軸，垂足為E，連接AB．根據勾股定理求出AC2、BC2、AB2，根據勾股定理逆定理可得∠BCA=90°，利用HL可證明，即可得出OP=CQ，根據OP=2BQ列方程求出n的值即可；（Ⅲ）分別討論AB=AM、BM=BA、MA=MB三種情況，設點M的坐標為，利用勾股定理列方程求出t的值即可.

（Ⅰ）∵拋物線經過原點O，

∴拋物線解析式為．

∵拋物線與x軸交于點(5，0)，

∴，解得．

∴拋物線解析式為．

，

∴拋物線的對稱軸為直線．

（Ⅱ）∵點C在拋物線上，

∴，解得(舍)，．

∴點C坐標為(8，4)．

過C作軸，垂足為E，連接AB．

在中，．

同理，可求得，．

∴．

∴．

在和中，，，

∴．

∴．

∵，

∴，．

∴，

解得．

（Ⅲ）∵拋物線的對稱軸為，

∴設點M的坐標為．

①當，為頂角時，

，解得．

②當，為頂角時，

，解得．

③當，為頂角時，

，解得．

此時點為AB的中點，與點A，B不構成三角形．

綜上可得，點M的坐標為，，，．