Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，已知點A（m，0），B（n，0），且m，n滿足（m+1）2+＝0，將線段AB向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到線段CD，其中點C與點A對應，點D與點B對應，連接AC，BD．

（1）求點A、B、C、D的坐標；

（2）在x軸上是否存在點P，使三角形PBC的面積等于平行四邊形ABDC的面積？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖（2），點E在y軸的負半軸上，且∠BAE＝∠DCB．求證：AE∥BC．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），D（4，2）；（2）存在，點P的坐標為（11，0）或（﹣5，0）；（3）見解析．

【解析】

（1）由非負數的性質得出，且，求出，，得出，，由平移的性質得，；

（2）設，由（1）得，，則，由得出，解得，或，即可得出答案；

（3）由平移的性質得，由平行線的性質得出，證出，即可得出結論．

（1）解：∵m，n滿足（m+1）2+＝0，

∴m+1＝0，且n﹣3＝0，

∴m＝﹣1，n＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

由平移的性質得：C（0，2），D（4，2）；

（2）解：存在，理由如下：

設P（x，0），

由（1）得：AB＝4，OC＝2，

∴S平行四邊形ABDC＝4×2＝8，

∵PB＝|x﹣3|，

∴S△PBC＝PB×OC＝|x﹣3|×2＝8，

解得：x＝11，或x＝﹣5，

∴點P的坐標為（11，0）或（﹣5，0）；

（3）證明：由平移的性質得：AB∥CD，

∴∠DCB＝∠CBA，

∵∠BAE＝∠DCB，

∴∠BAE＝∠CBA，

∴AE∥BC．