Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E為BC的中點，連接DE．

（1）求證：DE是半圓⊙O的切線．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，OE，BD，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，

∴DE=BE，

在△OBE和△ODE中，

，

∴△OBE≌△ODE（SSS），

∴∠ODE=∠ABC=90°，

則DE為圓O的切線

（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴BC= AC，

∵BC=2DE=4，

∴AC=8，

又∵∠C=60°，DE=CE，

∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，

則AD=AC﹣DC=6

【解析】（1）要證切線可須連半徑，再證直線和半徑垂直，出現直徑時，連直徑的端點和圓周上一點構成90°的圓周角，進而利用斜邊中線性質可證出；（2）由DE可求出BC，由30°性質可求出AB，再利用三角函數可求出AD.