Question

【題目】定義：有兩個相鄰內角和等于另兩個內角和的一半的四邊形稱為半四邊形，這兩個角的夾邊稱為對半線.

（1）如圖1，在對半四邊形中，，求與的度數之和；

（2）如圖2，為銳角的外心，過點的直線交，于點，，，求證：四邊形是對半四邊形；

（3）如圖3，在中，，分別是，上一點，，，為的中點，，當為對半四邊形的對半線時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）5.25.

【解析】

（1）根據四邊形內角和與對半四邊形的定義即可求解；

（2）根據三角形外心的性質得，得到，從而求出=60°，再得到，根據對半四邊形的定義即可證明；

（3）先根據為對半四邊形的對半線得到，故可證明為等邊三角形，再根據一線三等角得到，故，列出比例式即可求出AD，故可求解AC的長.

（1）∵四邊形內角和為

∴，

∵

∴=

則，

∴

（2）連結，由三角形外心的性質可得，

所以，，

所以，

則

在四邊形中，，則另兩個內角之和為，

所以四邊形為對半四邊形；

（3）若為對半線，則，

∴

所以為等邊三角形

∵

∴

又

∴

∵

∴，

∴

∵F為DE中點，

故

∴

∴