Question

4．如圖，已知點A是雙曲線y=$\frac{2}{x}$在第一象限的分支上的一個動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊△ABC，點C在第四象限．隨著點A的運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上運動，求k的值．

Answer 1

分析 連接OC，易證AO⊥OC，OC=$\sqrt{3}$OA．由∠AOC=90°想到構造K型相似，過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，可證△AEO∽△OFC．從而得到OF=AE，FC=$\sqrt{3}$EO．設點A坐標為（a，b），則ab=2，可得FC•OF=6．設點C坐標為（x，y），從而有FC•OF=-xy=-6，即k=xy=-6．

解答 解：∵雙曲線y=$\frac{2}{x}$關于原點對稱，
∴點A與點B關于原點對稱．
∴OA=OB．
連接OC，如圖所示．
∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB，∠BAC=60°，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{3}$OA．
過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF，
∴△AEO∽△OFC．
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{OE}{CF}$=$\frac{OA}{OC}$．
∵OC=$\sqrt{3}$OA，
∴OF=$\sqrt{3}$AE，FC=$\sqrt{3}$EO．
設點A坐標為（a，b），
∵點A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$a，FC=$\sqrt{3}$EO=$\sqrt{3}$b．
∵點A在雙曲線y=$\frac{2}{x}$上，
∴ab=2．
∴FC•OF=$\sqrt{3}$b•$\sqrt{3}$a=3ab=6．
設點C坐標為（x，y），
∵點C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FC•OF=x•（-y）=-xy=6．
∴xy=-6．
∵點C在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=xy=-6．

點評 本題是反比例函數綜合題，其中涉及到等邊三角形的性質、反比例函數的性質、相似三角形的判定與性質、點與坐標之間的關系、特殊角的三角函數值等知識，有一定的難度．由∠AOC=90°聯想到構造K型相似是解答本題的關鍵．