Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上的一個動點（不與點A重合），延長ME交CD的延長線于點N，連接MD，AN．

（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）當AM的值為　 　時，四邊形AMDN是矩形，請你把猜想出的AM值作為已知條件，說明四邊形AMDN是矩形的理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當AM＝2時，說明四邊形是矩形

【解析】

（1）根據菱形的性質可得AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠NDE=∠MAE，根據對頂角相等可得∠DEN=∠AEM，根據中點的定義求出DE=AE，然后利用“角邊角”證明△NDE和△MAE全等，根據全等三角形對應邊相等得到ND=AM，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；
（2）首先證明△AEM是等邊三角形，進而得到AE=ED=EM，利用三角形一邊上的中線等于斜邊一半判斷出△AMD是直角三角形，進而得出四邊形AMDN是矩形．

（1）∵點E是AD邊的中點，

∴AE＝ED，

∵AB∥CD，

∴∠NDE＝∠MAE，

在△NDE和△MAE中，

，

∴△NDE≌△MAE（ASA），

∴ND＝AM，

∵ND∥AM，

∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）當AM＝2時，說明四邊形是矩形．

∵E是AD的中點，

∴AE＝2，

∵AE＝AM，∠EAM＝60°，

∴△AME是等邊三角形，

∴AE＝EM，

∴AE＝ED＝EM，

∴∠AMD＝90°，

∵四邊形ABCD是菱形，

故當AM＝2時，四邊形AMDN是矩形．