Question

（2012•內江）如果方程x²+px+q=0的兩個根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁．x₂=q，請根據以上結論，解決下列問題：
（1）已知關于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0），求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數；
（2）已知a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值；
（3）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數c的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設方程x²+mx+n=0，（n≠0）的兩個根分別是x₁，x₂，得出

1

x1

+

1

x2

=-

m

n

，

1

x1

•

1

x2

=

1

n

，再根據這個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數，即可求出答案．
（2）根據a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，得出a，b是x²-15x-5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出

a

b

+

b

a

的值．
（3）根據a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=

16

c

，a、b是方程x²+cx+

16

c

=0的解，再根據c²-4•

16

c

≥0，即可求出c的最小值．

解答：解：（1）設方程x²+mx+n=0，（n≠0）的兩個根分別是x₁，x₂，
則：

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

m

n

，

1

x1

•

1

x2

=

1

x1x2

=

1

n

，
若一個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數，
則這個一元二次方程是：x²+

m

n

x+

1

n

=0；

（2）∵a、b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是x²-15x-5=0的解，且△=225+20=245＞0，
∴a≠b≠0，
a+b=15，ab=-5，

a

b

+

b

a

=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

152-2×(-5)

-5

=-47．

（3）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=

16

c

，
∴a、b是方程x²+cx+

16

c

=0的解，
∴c²-4•

16

c

≥0，
c²-

43

c

≥0，
∵c是正數，
∴c³-4³≥0，
c³≥4³，
c≥4，
∴正數c的最小值是4．

點評：本題考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．