Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC=PE·PO .

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若OE:EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑；
（3）在（2）問下，求的值。

Answer 1

（1）連接OC，根據PC²=PE•PO和∠P=∠P，可證得△PCO∽△PEC，即可證得∠PCO=∠PEC，再結合已知條件即可得出PC⊥OC，從而證得結論；（2）3；（3）

解析試題分析：（1）根據和∠P=∠P，可證得△PCO∽△PEC，即可證得∠PCO=∠PEC，再結合已知條件即可得出PC⊥OC，從而證得結論；
（2）設OE=x，則AE=2x，根據切割線定理得，則，解一元二次方程即可求出x，從而得出⊙O的半徑；
（3）連接BC，根據PC是⊙O的切線，得∠PCA=∠B，根據勾股定理可得出CE，BC，再由三角函數的定義即可求出結果．
（1）∵ 
∴
∵∠P=∠P
∴△PCO∽△PEC
∴∠PCO=∠PEC
∵CD⊥AB
∴∠PEC=90°
∴∠PCO=90°
∴PC是⊙O的切線；
（2）設OE=x
∵OE：EA=1：2
∴AE=2x
∵
∴
∵PA=6
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得x=1
∴OA=3x=3
∴⊙O的半徑為3；
（3）連接BC

∵
∴
∴
∴
∵PC是⊙O的切線
∴∠PCA=∠B

考點：切線的判定和性質，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數的定義
點評：本題是一道綜合性的題目，主要考查了學生對各種定義的綜合應用能力，是中考壓軸題，難度中等．