Question

【題目】如圖，已知二次函數 y＝ax2+x+c 的圖象與 y 軸交于點 A（0，4），

與 x 軸交于點 B、C，點 C 坐標為（8，0），連接 AB、AC．

（1）請直接寫出二次函數 y＝ax2+x+c 的表達式；

（2）判斷△ABC 的形狀，并說明理由；

（3）若點 N 在 x 軸上運動，當以點 A、N、C 為頂點的三角形是等腰三角形時， 請直接寫出此時點 N 的坐標；

（4）若點 N 在線段 BC 上運動（不與點 B、C 重合），過點 N 作 NM∥AC，交AB 于點 M，當△AMN 面積最大時，求此時點 N 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3）點N的坐標分別為（﹣8，0），（8﹣4，0），（3，0）或（8+4，0）；（4）當△AMN面積最大時，N點坐標為（3，0）．

【解析】

（1）利用待定系數法求解即可；

（2）先求得AB，AC，BC的長，然后根據勾股定理的逆定理即可證得△ABC為直接三角形；

（3）分別以A、C兩點為圓心，AC長為半徑畫弧，與x軸交于三個點，由AC的垂直平分線與x軸交于一個點，分別求得點N的坐標即可；

（4）設點N的坐標為（n，0），則BN＝n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，根據三角形相似對應邊成比例求得MD＝（n+2），然后根據S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN得出關于n的二次函數，根據函數解析式求得即可.

解：（1）∵二次函數y＝ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），

，

解得，

∴拋物線表達式：y＝﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形．

令 y＝0，則﹣x2+x+4＝0， 解得 x1＝8，x2＝﹣2，

∴點 B 的坐標為（﹣2，0），

由已知可得，

在Rt△ ABO中，AB2＝BO2+AO2＝22+42＝20，

在Rt△AOC中，AC2＝AO2+CO2＝42+82＝80，

又∵BC＝OB+OC＝2+8＝10，

∴在△ABC中，AB2+AC2＝20+80＝102＝BC2，

∴△ABC 是直角三角形；

（3）∵A（0，4），C（8，0），

∴AC＝＝4，

①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交 x 軸于 N，此時 N 的坐標為（﹣8，0）；

②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（8﹣4，0）或（8+4 ，0）；

③作AC的垂直平分線，交x軸于N，此時N的坐標為（3，0）；

綜上，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時， 點N的坐標分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）；

（4）設點N的坐標為（n，0），則BN＝n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴，

∵MN∥AC，

∴，

∴，

∵AO＝4，BC＝10，BN＝n+2，

∴MD＝（n+2），

∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN，

＝BNOA﹣BNMD

＝（n+2）×4﹣×（n+2）2

＝﹣（n﹣3）2+5，

∴當△AMN 面積最大時，N點坐標為（3，0）．