Question

如圖，正方形ABCD的邊長為8厘米，動點P從點A出發沿AB邊由A向B以1厘米/秒的速度勻速移動（點P不與點A、B重合），動點Q從點B出發沿折線BC-CD以2厘米/秒的速度勻速移動，點P、Q同時出發，當點P停止運動，點Q也隨之停止．連接AQ，交BD于點E．設點P運動時間為x秒．
（1）當點Q在線段BC上運動時，點P出發多少時間后，∠BEP和∠BEQ相等；
（2）當點Q在線段BC上運動時，求證：△BQE的面積是△APE的面積的2倍；
（3）設△APE的面積為y，試求出y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域．

Answer 1

分析：（1）當∠BEP和∠BEQ相等時，三角形BPE和BQE全等，那么BP=BQ，可以根據P，Q的速度，用時間表示出BP，BQ的長，進而求出t的值．
（2）因為Q的速度是P的2倍，因此BQ=2AP．過點E作MN⊥BC，垂足為M，交AD于點N，作EH⊥AB，垂足為H．由于∠ABD=∠DBC=45°，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等即可得出EH=EM，因此根據三角形的面積公式即可得出三角形BQE的面積是三角形APE面積的2倍．
（3）要分三種情況進行討論
①當Q在BC上時，求三角形APE的面積關鍵是求AP邊上的高，也就是EH的長，由于EH=EM，可通過求EM得出EH的值，根據相似三角形BEQ和AED可得出關于EM，EN，AD，BQ的比例關系，可用EM表示出EN，進而根據比例關系式得出EM即EH的長，也就能得出關于x，y的函數關系式了．
②當Q與C重合時，可直接求出三角形BEQ的面積，根據（2）的結果求出三角形APE的面積．
③當Q在CD上時，關鍵還是求AP邊上的高，過點E作MH⊥AB，垂足為H，可知MH⊥CD，設垂足為M，那么可參照②求EM的方法求出EH，然后根據三角形的面積公式即可得出y，x的函數關系式．

解答：解：
（1）∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠ABD=∠DBC．
當∠BEP=∠BEQ時，∠PBE=∠QBE，BE=BE．
∴△PBE≌△QBE．
∴PB=QB．
即8-x=2x．
解得x=

8

3

．
即點P出發

8

3

秒后，∠BEP=∠BEQ．

（2）當點Q在線段BC上運動時，如圖1，過點E作MN⊥BC，垂足為M，交AD于點N，作EH⊥AB，垂足為H．∵∠ABD=∠DBC，EH⊥AB，EM⊥BC．
∴EH=EM．
∵BQ=2x，AP=1x．
∴BQ=2AP
∵S_△APE=

1

2

AP•EH，S_△BQE=

1

2

BQ•EM=

1

2

•2AP•EH=AP•EH=2S_△APE．
所以S_△BQE=2S_△APE．

（3）①當0＜x＜4時，點Q在BC邊上運動．
∵四邊形ABCD是正方形．
∴AD∥BC．
∴MN⊥AD，△BEQ∽△DEA．
∴

BQ

AD

=

EM

EN

．
∴

2x

8

=

EM

8-EM

．
解得EM=

8x

4+x

．
即EH=

8x

4+x

．
∴S_△APE=

1

2

AP•EH=

1

2

•x•

8x

4+x

=

4x2

4+x

．
即y=

4x2

4+x

．
②當x=4時，點Q與點C重合．此時y=8．
③當4＜x＜8時，點Q在CD邊上運動．如圖2，過點E作MH⊥AB，垂足為H，可知MH⊥CD．
設垂足為M．
∵AB∥DC．
∴∠ABE=∠EDQ，∠BAE=∠DQE，
∴△AEB∽△DEQ．
∴

AB

DQ

=

EH

EM

．
∴

8

16-2x

=

EH

8-EH

．
解得EH=

32

12-x

．
∴S_△APE=

1

2

AP•EH=

1

2

•x•

32

12-x

=

16x

12-x

．
即y=

16x

12-x

．
綜上所述，y關于x的函數解析式為y=

4x2

4+x

（0＜x＜4）；y=8（x=4）；y=

16x

12-x

（4＜x＜8）．

點評：本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質等綜合知識，根據相似三角形得出線段的比例關系從而表示出三角形APE的高是解題的關鍵．