Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點我，已知B點坐標（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心P位置，并求圓心P坐標；
（3）若D是拋物線上一動點，是否存在點D，使以P、B、C、D為頂點的四邊形是梯形？如果存在，請直接寫出滿足條件的點D的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將點B（4，1）的坐標代入可得：16a+6+2=0，
解得：a=-，
故拋物線的解析式為y=-a²+x+2．

（2）∵拋物線的解析式為y=-x²+x+2，
∴點C的坐標為（0，2），點A的坐標為（-1，0），
∴AC²=AO²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，AB²=（OA+OB）²=25，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的外接圓的圓心P位置在斜邊AB的中點處，
∴點P的坐標為（，0）．

（3）存在點D的坐標．
①若BC為梯形的底邊，過點P作BC的平行線，交拋物線于點D，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
將點B、點C的坐標代入可得：，
解得：，
故直線BC的解析式為y=-+2，
故可設直線PD的解析式為y=-x+c，
將點P的坐標（，0）代入可得：-×+c=0，
解得：c=，
故直線PD的解析式為y=-x+，
聯立拋物線與直線PD的解析式：，
解得：或，
即點D的坐標為（，）或（，）．
②若BC為梯形的對角線，過點C作CD∥BP，交拋物線于點D，
此時點D的縱坐標為2，將y=2代入拋物線解析式可得點D的坐標為（3，2）．
綜上可得點D的坐標為：（，）或（，）或（3，2）．
分析：（1）將點B的坐標代入可求出a的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）分別求出AC、AB、BC的長度，利用勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形，從而確定△ABC的外接圓圓心在斜邊的中點；
（3）分兩種情況討論，①BC為梯形的底邊，②BC為梯形的對角線，分別求出點D的坐標即可．
點評：本題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求二次函數解析式、直角三角形的外接圓圓心及直線與拋物線的交點，涉及的知識點較多，對于此類綜合性較強的題目，要求同學們熟練掌握各知識點，并能將所學知識點融會貫通．