Question

已知：關于x的方程（k+2）x²-x+2=0，
（1）k取何值時，方程有兩個相等的實數根？求出這時方程的根．
（2）k取何值時，方程有實根？

Answer 1

分析：（1）由關于x的方程（k+2）x²-x+2=0有兩個相等的實數根，即可得k+2≠0且判別式△=（-1）²-4×（k+2）×2=0，即可求得k的值；然后將k的值代入原方程，利用直接開平方法，即可求得這時方程的根；
（2）分兩種情況：①k+2=0時，為一元一次方程，此時方程有實根；②k+2≠0時，為一元二次方程，由判別式△=（-1）²-4×（k+2）×2≥0，解此不等式即可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）∵關于x的方程（k+2）x²-x+2=0有兩個相等的實數根，
∴判別式△=（-1）²-4×（k+2）×2=0，k+2≠0，
解得：k=-

15

8

；
∴k=-

15

8

時，方程有兩個相等的實數根．
當k=-

15

8

時，原方程為：

1

8

x²-x+2=0，即（x-4）²=0，
解得：x₁=x₂=4；

（2）分兩種情況：
①k+2=0時，為一元一次方程，此時方程有實根，即當k=-2時，方程有一個實根；
②k+2≠0時，為一元二次方程，由判別式△=（-1）²-4×（k+2）×2≥0，
解得：k≤-

15

8

．
即當k≤-

15

8

且k≠-2時，方程有兩個實根．
綜上可知當k≤-

15

8

時，方程有實根．

點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式與一元二次方程的解法．此題難度中等，解題的關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．