Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F為AB中點，連接DF、EF、DE、EF與AC交于點O，DE與交于點G，連接OG，若，下列結論：①；②；③EF⊥AC；④．其中正確的結論的序號是___________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據等邊三角形的性質求出∠EAC=60°，AE=AC，求出BC=AF，根據SAS證△ABC≌△EFA，推出FE=AB，∠AEF=∠BAC=30°，求出∠AOE=90°，即可判斷③；求出AD=BD，BF=AF，∠DFB=∠EAF，∠BDF=∠AEF，根據AAS證△DBF≌△EFA，即可判斷①；得出四邊形ADFE為平行四邊形，推出AG=AF，AG=AB，求出AD=AB，推出AD=4AG，即可判斷④；求出∠FAE=90°，∠AFE＜90°，推出EF＞AE，即可判斷②．

∵△ACE是等邊三角形

∴

∵

∴

∵F為AB的中點

∴

∴

在△ABC和△EFA中

∴

∴，

∴，故③正確

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

在△DBF和△EFA中

∴，故①正確

∴

∵

∴四邊形ADFE為平行四邊形

∴

∵

∴，故④正確

∵四邊形ADFE為平行四邊形

∴

∵

∴

∴，故②錯誤

正確的有①③④

故答案為：①③④．