Question

（2004•廣州）已知拋物線y=（m+1）x²-2mx+m（m為整數）經過點A（1，1），頂點為P，且與x軸有兩個不同的交點．
（1）判斷點P是否在線段OA上（O為坐標原點），并說明理由；
（2）設該拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x₁、x₂，且x₁＜x₂，是否存在實數m，使x₁＜m＜x₂？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可先表示出P點的坐標，根據拋物線與x軸有兩個交點，令y=0，那么得出的一元二次方程應該有兩個實數根，即△＞0（且m≠-1），由此可得出m的取值范圍．然后用m的取值范圍來判斷P點是否在線段OA上即可；
（2）由于x₁＜m＜x₂，那么（x₁-m）（x₂-m）＜0，可根據一元二次方程根與系數的關系，來求出此時m的取值范圍．
解答：解：（1）點P不在線段OA上，
理由：∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴方程（m+1）x²-2mx+m=0（*）有兩個實數根，
∴△=4m²-4m（m+1）＞0，
又∵m+1≠0，
∴m＜0，且m≠-1．
根據題意可知：P點的坐標為（，），
因此分兩種情況進行討論：
①當-1＜m＜0時，m+1＞0，＜0，點P在第三象限，此時點P不在線段OA上；
②當m＜-1時，m+1＜0，＞0，點P在第一象限，
∵-1=＞0，
∴＞1
∴點P不在線段OA．綜上所述，點P不在線段OA上；
（2）存在實數m滿足x₁＜m＜x₂，由于x₁，x₂是方程（*）的兩個不相等的根，
因此x₁+x₂=，x₁•x₂=．
（x₁-m）（x₂-m）=x₁•x₂-m （x₁+x₂）+m²=-+m²=，
∵x₁＜m＜x₂，
∴（x₁-m）（x₂-m）＜0，
即＜0，
又因為m＜0，且m≠-1，
∴m的取值范圍是：-1＜m＜0．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系、一元二次方程根與系數的關系等知識，要注意本題中待定系數的范圍不確定，因此要分類討論．