Question

【題目】如圖1，在正方形中，點，分別是邊，上的點，且.連接，過點作，使，連接，.

（1）請判斷：與的數量關系是________________，位置關系是___________________；

（2）如圖2，若點，分別是邊，延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；

（3）如圖3，若點，分別是邊，延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷.

Answer 1

【答案】（1）；．（2）成立；（3）成立．

【解析】

（1）構造輔助線后證明△HGE≌△CED，利用對應邊相等求證四邊形GHBF是矩形后，利用等量代換即可求出FG=CE，FG∥CE；
（2）構造輔助線后證明△HGE≌△CED，利用對應邊相等求證四邊形GHBF是矩形后，利用等量代換即可求出FG=CE，FG∥CE；
（3）證明△CBF≌△DCE，即可證明四邊形CEGF是平行四邊形，即可得出結論．

解：（1）FG=CE，FG∥CE；理由如下：
過點G作GH⊥CB的延長線于點H，如圖1所示：

則GH∥BF，∠GHE=90°，
∵EG⊥DE，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE，
在△HGE與△CED中，

∴△HGE≌△CED（AAS），
∴GH=CE，HE=CD，
∵CE=BF，
∴GH=BF，
∵GH∥BF，
∴四邊形GHBF是矩形，
∴GF=BH，FG∥CH
∴FG∥CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴HE=BC，
∴HE+EB=BC+EB，
∴BH=EC，
∴FG=EC；
故答案為：FG=CE，FG∥CE；

（2）FG=CE，FG∥CE仍然成立；理由如下：
過點G作GH⊥CB的延長線于點H，如圖2所示：

∵EG⊥DE，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE，
在△HGE與△CED中，

∴△HGE≌△CED（AAS），
∴GH=CE，HE=CD，
∵CE=BF，∴GH=BF，
∵GH∥BF，
∴四邊形GHBF是矩形，
∴GF=BH，FG∥CH
∴FG∥CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴HE=BC，
∴HE+EB=BC+EB，
∴BH=EC，
∴FG=EC；

（3）FG=CE，FG∥CE仍然成立．理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，
在△CBF與△DCE中，

∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四邊形CEGF平行四邊形，
∴FG∥CE，FG=CE．