Question

在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4

3

，0）．點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）當t為何值時，線段DE長為

39

；
（2）當線段EF與以點B為圓心，半徑為1的⊙B有兩個公共交點時，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，由OA=4，OC=4

3

，運用正切函數的定義得出∠C=30°，再運用含t的代數式分別求出點E、F的坐標，然后根據線段DE長為

39

得到關于t的方程，求解即可；
（2）當線段EF與⊙B有兩個公共交點時，直線EF與⊙B相交，此時圓心到直線的距離小于圓的半徑．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4

3

，0），
∴tanC=OA：OC=

3

3

，
∴∠C=30°．
在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，CF=

3

t，
∴OF=4

3

-

3

t，
∴D（4

3

-

3

t，t）．
又∵AE=t，
∴OE=4-t．
∴E（0，4-t）．
當線段DE長為

39

時，有（4

3

-

3

t）²+（t-4+t）²=39，
解得t₁=

5

7

，t₂=5（不合題意，舍去）．
故t₁=

5

7

時，線段DE長為

39

；

（2）∵⊙B的半徑為1，
∴當點O到EF的距離小于1時，直線EF與⊙B相交．
而點O到EF的距離即為直角△EOF斜邊EF上的高的長度，設直角△EOF斜邊EF上的高為h．
∵AE∥DF，AE=DF=t，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴∠EFO=∠C=30°，
則h=OF•sin∠EFO=

1

2

OF=

4 3 - 3 t

2

，
∴

4 3 - 3 t

2

＜1，
解得t＞

12-2 3

3

．
又∵點D從點C出發沿CA方向運動，同時點E從點A出發沿AB方向運動，DF⊥BC于點F，
∴AE＜4
故t的取值范圍為：

12-2 3

3

＜t＜4．

點評：本題考查了勾股定理，兩點間的距離公式，直線與圓的位置關系和正切函數的定義，綜合性較強，有一定的難度．