Question

（2013•崇左）如圖，在△ABO中，OA=OB，C是邊AB的中點，以O為圓心的圓過點C，且與OA交于點E，與OB交于點F，連接CE，CF．
（1）求證：AB與⊙O相切．
（2）若∠AOB=∠ECF，試判斷四邊形OECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據三線合一得出OC⊥AB，根據切線判定推出即可；
（2）取圓周角∠M，根據圓周角定理和圓內接四邊形性質得出∠M+∠ECF=180°，∠EOF=2∠M，推出∠ECF=2∠M，求出∠M，求出∠EOF，得出等邊三角形OEC，推出OE=EC，同理得出OF=FC，推出OE=OF=FC=EC，根據菱形判定推出即可．

解答：（1）證明：連接OC，
∵在△ABO中，OA=OB，C是邊AB的中點，
∴OC⊥AB，
∵OC為半徑，
∴AB與⊙O相切；

（2）解：四邊形OECF的形狀是菱形，
理由是：
如圖，取圓周角∠M，
則∠M+∠ECF=180°，
由圓周角定理得：∠EOF=2∠M，
∵∠ECF=∠EOF，
∴∠ECF=2∠M，
∴3∠M=180°，
∠M=60°，
∴∠EOF=∠ECF=120°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∵OE=OC，
∴△OEC是等邊三角形，
∴EC=OE，
同理OF=FC，
即OE=EC=FC=OF，
∴四邊形OECF是菱形．

點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，菱形判定，等邊三角形的性質和判定，圓周角定理，圓內接四邊形的性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．