Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，tanB＝3，點D為邊AB上一動點，在直線DC上方作∠EDC＝∠ECD＝∠B，得到△EDC，則CE最小值為_____．

Answer 1

【答案】6.

【解析】

作AM⊥BC于M，CN⊥AB于N．在Rt△ABM中，根據三角函數關系可求得BM，AM的值，在Rt△CNB中根據三角函數關系可求得NC的值.易證明△EDC∽△ABC，根據相似的性質可得，可得DC最小時，EC最小，當DC與NC重合時DC最小，由此可求得CE.

作AM⊥BC于M，CN⊥AB于N．

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BM＝MC，∠B＝∠ACB，

∴tanB＝＝3，設AM＝3k，BM＝k，

在Rt△ABM中，40＝9k2+k2，

∴k2＝4，

∵k＞0，

∴k＝2，

∴BM＝CM＝2，BC＝4，

∵CN⊥AB，

∴∠CNB＝90°，

∴tanB＝＝3，設BN＝m，CN＝3m，

則有，10m2＝16，

∵m＞0，

∴m＝，

∴CN＝，

∵∠EDC＝∠ECD＝∠B＝∠ACB，

∴△EDC∽△ABC，

∴＝，

∴＝＝，

∴DC最小時，EC的值最小，

∵當CD與CN重合時CD的值最小，此時CD＝，

∴EC的最小值＝×2÷4＝6，

故答案為6．