Question

【題目】已知，拋物線y=x2+2mx(m為常數且m≠0）．

（1）判斷該拋物線與x軸的交點個數，并說明理由．

（2）若點A（-n+5，0），B(n-1，0)在該拋物線上，點M為拋物線的頂點，求△ABM的面積．

（3）若點（2，p)，（3，g），（4，r)均在該拋物線上，且p<g<r，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線與x軸有2個交點，理由見解析；（2）△ABM的面積為8；（3）m的取值范圍m>-2.5

【解析】

（1）首先算出根的判別式b2-4ac的值，根據偶數次冪的非負性，判斷該值一定大于0，從而根據拋物線與x軸交點個數與根的判別式的關系即可得出結論；

（2）根據拋物線的對稱性及A,B兩點的坐標特點求出拋物線的對稱軸直線為x=2.從而再根據拋物線對稱軸直線公式建立方程，求解算出m的值，進而求出拋物線的解析式，得出A,B,M三點的坐標，根據三角形的面積計算方法，即可算出答案；

（3）方法一（圖象法）：根據拋物線的對稱軸直線及開口方向判斷出當對稱軸在直線x=3的右邊時，顯然不符合題目條件；當對稱軸在直線x=2的左邊時，顯然符合題目條件（如圖2），從而列出不等式得出m的取值范圍；當對稱軸在直線x=2和x=3之間時，滿足3-（-m)>-m-2即可（如圖3），再列出不等式得出m的取值范圍，綜上所述，求出m的取值范圍；方法二（代數法）：將三點的橫坐標分貝代入拋物線的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p<g<r 即可列出關于m的不等式組，求解即可。

（1）解：拋物線與x軸有2個交點。理由如下：

∵m≠0，∴b2-4ac =（2m）2-4×1×0=4m2>0．

∴拋物線與x軸有2個交點

（2）解：∵點A（-n+5，0），B(n-1，0)在拋物線上

∴拋物線的對稱軸x=

∴ =2,即m=-2．

∴拋物線的表達式為y=x2-4x．

∴點A（0，0），點B（4，0）或點A（4，0），點B（0，0），點M（2，-4）

∴△ABM的面積為×4×4=8

（3）解：方法一（圖象法）：

∵拋物線y=x2+2mx的對稱軸為x=-m，開口向上。

∴當對稱軸在直線x=3的右邊時，顯然不符合題目條件（如圖1）．

當對稱軸在直線x=2的左邊時，顯然符合題目條件（如圖2）．

此時，-m<2，即m>-2．

當對稱軸在直線x=2和x=3之間時，滿足3-（-m)>-m-2即可（如圖3）．

即m>-2.5．

綜上所述，m的取值范圍m>-2.5

方法二（代數法）：

由已知得，p=4+4m，g=9+6m，r=16+8m．

∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m＞-2.5.