Question

（1）如圖，在?ABCD中，點E是AD的中點，連接CE并延長，交BA的延長線于點F．求證：FA=AB．

（2）如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm，①求∠BAC的度數； ②求⊙O的周長．

Answer 1

分析：（1）先根據平行四邊形的性質得出AE∥BC，AE=BC，再根據E是AD的中點可知AE=

1

2

AD可判斷出AE是△ABC的中位線，利用中位線定理即可得出結論；
（2）①根據圓周角定理可直接求解；
②過O作OE⊥AC，連接OA、OC，根據圓周角定理可判斷出△ABC是等邊三角形，求出∠AOC的度數，由垂徑定理可知AE的長，再根據三角函數的定義可求出OA的長，進而可求出⊙O的周長．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∵E是AD的中點，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

BC，
∴AE是△ABC的中位線，
∴FA=AB；

（2）①∵∠ACB=∠BDC=60°，∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC=60°；
②過O作OE⊥AC，連接OA、OC，
∵∠ACB=∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠AOC=120°，
∴∠AOE=60°，
∵OE⊥AC，AC=2

3

cm，
∴AE=

3

cm，
∴OA=

AE

sin60°

=

3

3 2

=2，
∴⊙O的周長=2πOA=2π×2=4π．
故答案為：60°，4π．

點評：本題考查的是圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質、銳角三角函數的定義，根據題意作出輔助線構造出直角三角形是解答此題的關鍵．